동전 던지기 게임

동전 던지기 게임

 

순수 전략이 존재하지 않는 내쉬균형 게임의 예로 '동전 던지기(matching pennies)'를 들 수 있다. 이 게임에서는 플레이어 2명이 100원 동전을 가지고 다음과 같은 게임을 펼친다.

두 사람은 동전의 앞면과 뒷면 중 어느 쪽을 위로 둘 것인지를 미리 정한 다음 신호와 함께 자신이 정한 면이 윗면이 되게끔 테이블 위에 올려놓는다. 

 

이때 동전의 윗면이 동일할 경우 플레이어 2가 이기며 플레이어 1로부터 100원을 받는다. 반대로 윗면이 서로 다를 경우에는 플레이어 1이 이기며 플레이어 2로부터 100원을 받는다.

지극히 단순한 이 게임은 순수 전략과 혼합 전략이 각각 존재하는 경우 내쉬균형의 차이를 설명하기 위해 만들어낸 것이다.

 

이 게임의 전략과 이익을 이익 행렬로 정리하면 아래의 그림과 같다.

 

↓플레이어1         플레이어2→	앞면	뒷면
앞면	(-100, +100)	(+100, -100)
뒷면	(+100, -100)	(-100, +100)

 

여기서 내쉬균형이 있는지 없는지를 검토하기 위해서 각 플레이어는 자신의 이익이 늘어나게끔 하는 상대의 전략에 선을 그어본다.

이익 행렬 안에서 두 플레이어 모두 선을 그은 전략이 없으므로 이 게임에는 절대 우위 전략뿐만 아니라 내쉬균형을 충족하는 전략 조합조차 존재하지 않는다. 이것은 어떤 전략을 취하더라도 어느 한쪽의 플레이어가 그 외의 다른 전략으로 변경함으로써 더 많은 이익을 얻게 된다는 것을 의미한다.

 

예를 들어 [앞면, 앞면]이라는 전략 조합을 검토해보자. 이 상황에서 플레이어 2는 승리하여 100원을 받기 때문에 앞면에서 뒷면으로 변경하더라도 이익을 늘릴 수 없다.

 

하지만 플레이어 1은 앞면을 뒷면으로 바꾸면 [뒷면, 앞면]이 되어 이익을 -100원에서 +100원으로 늘릴 수 있다.

또한 [앞면, 뒷면]의 경우에는 플레이어 2가 앞면으로 변경하면 [앞면, 앞면]이 되어 자신의 이익을 -100원에서 +100원으로 늘릴 수 있다.

 

위의 그림의 행렬에 나타난 것처럼 네 개의 전략 조합, [앞, 앞] [앞, 뒤] [뒤, 앞] [뒤, 뒤]는 그 어느 것도 내쉬균형의 조건을 충족하지 못한다.

게임이론에서는 앞뒤 등 플레이어의 확정적 행동전략을 순수 전략이라고 한다.

따라서 이 동전 던지기 게임에는 순수 내쉬균형전략은 존재하지 않는다.

그렇다면 이 게임에서는 균형을 유지할 수 있는 전략이 존재하지 않는 것일까?

 

무작위와 혼합 전략

 

최상의 전략, 즉 순수 내쉬균형전략이 존재하지 않는 일상의 게임은 의외로 많다. 예를 들어 가위바위보를 할 경우 '가위' '바위' '보' (이것은 순수 전략) 중에서 언제나 확실하게 이길 수 있는 선택(전략)이란 없다.

가위바위보에서 상대를 이기려고 할 때 가장 먼저 생각해야 하는 것은 무엇일까?

그것은 상대가 자신이 내는 패턴을 파악하지 못하게 하는 것이다. 눈치 빠른 상대에게(예를 들어 자신은 무의식적으로 행동한다 하더라도) '주먹을 내는 습관'을 들키면 상대는 그것에 맞춰 보를 더 많이 낼 것이다.

 

동전 던지기 게임도 가위바위보와 비슷하다. 차이점이라면 앞면과 뒷면으로 순수 전략이 두 개 존재한다는 것이다. 가위바위보와 마찬가지로 동전 던지기 게임에서 취해야 할 전략은 자신이 앞면과 뒷면을 내는 비율이 들키지 않도록 적절하게 무작위로 내는 것이다.

이처럼 순수 전략을 취하지 않고 일정한 확률에 따라 무작위로 선택하는 전략을 '혼합 전략(mixed strategy)'이라고 한다.